高二雙曲線c^2=a^2+b^2之由來證明--－d3howello45的部落格

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高二雙曲線c^2=a^2+b^2之由來證明??

發問:

如題,要怎麼從圖形證明? 我的疑問是假如以左右開口中心為原點的雙曲線為例子其中c是半焦距，a是半貫軸長，b是半共軛軸長那麼怎知道c^2=a^2+b2?? 我不是要假設中出來的b^2=c^2-a^的答案而是從圖形來解釋出(就像橢圓圖形中解釋的a^2=b^2+c^2) ________ 然而在證明標準式中b2=c^2-a^2這是假設的如何得知這個b就是圖形中的那個b???

最佳解答:

(1) 設雙曲線兩焦點F(c,0),F'(-c,0),P(x,y)為雙曲線上一點 lPF-PF'l=2a,c>a>0, 則 l根號[(x-c)^2+y^2]-根號[(x+c)^2+y^2]l=2a 此式經化簡後得到 (c^2-a^2)x^2-a^2*y^2=a^2*(c^2-a^2) 為了式子化簡及求共軛軸的頂點令b^2=c^2-a^2 故b^2*x^2-a^2*y^2=a^2*b^2 得到標準式 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 (2) 有些同學不清楚 b是從哪裡冒出來的其實是直接假設b^2=c^2-a^2 而這個b值代表雙曲線中心到共軛軸頂點的距離我們是先算出這個b的值然後在y軸標示(0,b),(0,-b) 所以這個b就是圖形中的那個b 共軛軸的頂點雖然不在雙曲線上但這個b值是重要的利用它才能求出雙曲線的正焦弦長及漸近線方程式歡迎賜教:http://tw.myblog.yahoo.com/math-life

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