標題:

高二雙曲線c^2=a^2+b^2之由來證明??

發問:

如題,要怎麼從圖形證明? 我的疑問是假如以左右開口 中心為原點的雙曲線為例子 其中c是半焦距,a是半貫軸長,b是半共軛軸長 那麼怎知道c^2=a^2+b2?? 我不是要假設中出來的b^2=c^2-a^的答案 而是從圖形來解釋出(就像橢圓圖形中解釋的a^2=b^2+c^2) ________ 然而在證明標準式中b2=c^2-a^2這是假設的 如何得知這個b就是圖形中的那個b???

最佳解答:

(1) 設雙曲線兩焦點F(c,0),F'(-c,0),P(x,y)為雙曲線上一點 lPF-PF'l=2a,c>a>0, 則 l根號[(x-c)^2+y^2]-根號[(x+c)^2+y^2]l=2a 此式經化簡後得到 (c^2-a^2)x^2-a^2*y^2=a^2*(c^2-a^2) 為了式子化簡及求共軛軸的頂點 令b^2=c^2-a^2 故b^2*x^2-a^2*y^2=a^2*b^2 得到標準式 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 (2) 有些同學不清楚 b是從哪裡冒出來的 其實是直接假設b^2=c^2-a^2 而這個b值 代表雙曲線中心到共軛軸頂點的距離 我們是先算出這個b的值 然後在y軸標示(0,b),(0,-b) 所以這個b就是圖形中的那個b 共軛軸的頂點雖然不在雙曲線上 但這個b值是重要的 利用它才能求出雙曲線的正焦弦長及漸近線方程式 歡迎賜教:http://tw.myblog.yahoo.com/math-life

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