標題:

高二數學拋物線

發問:

1.設拋物線之焦點為(-1,2),準線平行於y軸,正焦弦長為8,則其方程式為? 2.一拋物線之焦點為(0,2),準線平行於x軸,正焦弦長為8,則其方程式為? 3.已知一拋物線的正焦弦兩端點為(1,5),(1,-1),則此拋物線方程式為? 以上三題皆有兩解

最佳解答:

1.準線平行於y軸,表其開口向上或向下,且其頂點位於焦點的正上方或正下方。若焦點至頂點之長為f,則正焦弦長為4f。此例中正焦弦長為8,故f=2。 若頂點在焦點上方,則其頂點為(-1,4),方程式開口向下,故其方程式為-4f(y-4) = (x+1)^2 => -8y+32 = x^2 + 2x + 1 => 8y = -x^2 - 2x + 31 若頂點在焦點下方,則其頂點為(-1,0),方程式開口向上,故其方程式為4f(y-0) = (x+1)^2 => 8y = x^2 + 2x + 1 2.與第一題類似。準線平行於x軸,且其頂點位於焦點的左方或右方。若焦點至頂點之長為f,則正焦弦長為4f。此例中正焦弦長為8,故f=2。 若頂點在焦點左方,則其頂點為(-2,2),方程式開口向左,故其方程式為-4f(x+2) = (y-2)^2 => -8x - 16 = y^2 - 4y + 4 => 8x = -y^2 + 4y - 20 若頂點在焦點右方,則其頂點為(2,2),方程式開口向右,故其方程式為4f(x-2) = (y-2)^2 => 8x - 16 = y^2 - 4y + 4 => 8x = y^2 - 4y + 20 3.正焦弦與對稱軸垂直。此例中,其正焦弦之兩端點之x部份皆為1,故其正焦弦與y軸平行,而對稱軸與x軸平行,故此方程式之開口向左或向右。其焦點位於正焦弦兩端點中間,故其焦點之座標為(1,2),而其正焦弦長為6。若焦點至頂點之長為f,則正焦弦長為4f,故其焦點至頂點之距離f = 6/4 = 3/2。 若頂點在焦點左方,則其頂點為(-1/2,2),方程式開口向左,故其方程式為-6(x+1/2) = (y-2)^2 => -6x -3 = y^2 - 4y + 4 => 6x = -y^2 + 4y - 7 若頂點在焦點右方,則其頂點為(5/2,2),方程式開口向右,故其方程式為6(x+5/2) = (y-2)^2 => 6x + 15 = y^2 - 4y + 4 => 6x = y^2 - 4y - 11 以上是我個人看法,名詞術語查自維基百科和其他一些地方,若有錯誤請不吝指正。

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